생일문제: 생일이 같은 사람이 2명 이상이 될 확률

생일이 같은 사람이 2명 이상일 확률이 \( \frac{1}{2} \) 이상이 되는 최소 \( n \)을 구하는 문제는 흔히 생일 문제라고 불립니다. 이를 해결하기 위해 확률을 계산하는 과정을 단계적으로 살펴보겠습니다.

 

문제 접근 방법

1. 전체 경우의 수:

\( n \)명이 있을 때, 각 사람이 독립적으로 365일 중 하루를 생일로 가질 수 있으므로, 가능한 전체 경우의 수는 \( 365^n \)입니다.

 

2. 서로 다른 생일일 경우의 수:

첫 번째 사람은 365일 중 어느 날이든 선택 가능, 두 번째 사람은 첫 번째 사람과 다른 날을 선택해야 하므로 선택지가 \( 365 - 1 \), 세 번째 사람은 \( 365 - 2 \) 등으로 이어집니다. 따라서 서로 다른 생일일 경우의 수는:
\[
365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times (365 - n + 1)
\]

 

3. 서로 다른 생일일 확률:

서로 다른 생일일 경우의 확률은 전체 경우의 수에 대한 서로 다른 경우의 수의 비율로 계산됩니다:
\[
P(\text{서로 다름}) = \frac{365 \times 364 \times \cdots \times (365 - n + 1)}{365^n}
\]

 

4. 적어도 두 사람이 생일이 같을 확률:

적어도 두 사람이 생일이 같을 확률은 1에서 서로 다른 경우의 확률을 빼면 됩니다:
\[
P(\text{적어도 두 사람 생일 같음}) = 1 - P(\text{서로 다름})
\]

 

5. 조건:

문제에서 이 확률이 \( \frac{1}{2} \) 이상이 되는 최소 \( n \)을 찾아야 합니다:
\[
1 - \frac{365 \times 364 \times \cdots \times (365 - n + 1)}{365^n} \geq \frac{1}{2}
\]

 

이를 계산하면 \( n \approx 23 \)임을 알 수 있습니다.

 

결과

이 코드를 실행하면 \( n = 23 \)이 됩니다. 즉, 23명이 모였을 때 적어도 두 사람이 같은 생일을 가질 확률이 \( \frac{1}{2} \) 이상이 됩니다.

 

요약

- 최소 \( n = 23 \)일 때, 생일이 같은 사람이 2명 이상일 확률이 \( \frac{1}{2} \) 이상이 됩니다.
- 이 결과는 생일 문제의 고전적인 결과로, 실제로 많은 응용 사례에서 중요한 통찰을 제공합니다.

 

결과

결과가 직관적이지 않을 것이라고 생각합니다. 아마도 "이렇게 적은 숫자라고?"라고 생각하는 사람들이 많을 것으로 예상됩니다. 그 이유는 직관에 자기중심적인 사고가 기본적으로 깔려 있기 때문이라고 설명할 수 있습니다. "몇 명이 모이면 두 사람이 생일이 같을까?"라는 질문에서 무의식적으로 두 사람 중 한 명은 "나다"라고 생각하게 된다는 것이죠.